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如何分析多期的二项式定价模型期权?

2023-01-31 12:59:29 来源:期货知识

现在,这一定价原则被应用于2年期债券的定价期权。假设股票在两年中每年可能升值20%或贬值10%,股票可能在一年后从目前的100美元变为120美元或90美元。如果股价涨到120美元,第二

现在,这一定价原则被应用于2年期债券的定价期权。假设股票在两年中每年可能升值20%或贬值10%,股票可能在一年后从目前的100美元变为120美元或90美元。如果股价涨到120美元,第二年可能变成144美元(第二年仍涨20%)或者108美元(第二年跌10%)。另一方面,如果* *结束时股价跌到90美元,可能会涨到108美元(第二年涨20%),或者继续跌到81美元(第一。

现在假设有一个看涨期权,行权价为110美元,在第二年末到期期权。这个期权的价格和对应的股票价格也用6-1果树表示。*一、分析期权第二年末可能价格。因为股票期权的执行价格是110美元,如果股价是108美元或者81美元,那么期权就不值钱;而如果股价是144美元,那么期权的价格就是34美元。其次,分析* *结尾可能的价格期权。如果股价跌到90美元,第二年可能涨到108美元,也可能跌到81美元。无论如何,它们都低于看涨者的执行价格期权。所以,如果* *股票跌到90美元,那么期权就没用了,市值为零。

另一方面,如果* *的股价涨到120美元,基础股价很可能再次涨到144美元,那么期权的价格就是正的。对此,第二年的市场价格期权可以用与一年期的市场价格期权相同的方法计算。股票的高价位和低价位之间的差价是36美元,相应地,010和31062之间的差价是34美元。这意味着你买的每只股票必须卖出1.0588股期权(36/34=1.0588);如果你想买10000股,你必须卖出10588股期权。

如果第二年末股价上涨,投资者持有的股价为144万美元。其售出期权将被执行,费用为36万美元。所以投资组合会有不同的值,也许是108万美元,也就是说,如果股价跌到108美元,投资组合的值就是就是,因为在这种情况下期权不会被执行。在第二年年底,投资者持有的无风险投资组合的价值将为108万美元。

为了在第二年年初形成这个投资组合,投资者必须花费120万美元购买10,000股,这比投资者卖出10,588只公牛的收入还少期权。牛期权必须以一定的价格卖出,使得投资者在这项投资中获得无风险收益率。我们假设无风险投资收益率还是10%。

现在,让我们回到* *的开始。基于以上分析可以看出,在* *周期(cycles)的末期期权,有两种可能,要么价格是20.61美元(如果股价涨到120美元),要么一文不值(如果股价跌到90美元),投资者也可以构造一个已知的确切值。股票的最高价格和最低可能价格之间的差额为30美元,对应的期权差额为20.61美元。为了抵消价值,投资者每买入一只股票必须卖出1.4556股期权(30/20.61=1.4556),让投资者买入10000股,卖出14556股期权。这样,股价上涨后,投资者就有了一个价格为90万美元的投资组合。投资者的股票多头价格是120万美元;期权的做空价格为30万美元(即20.61 14556美元)。如果股价跌到90美元,投资者的投资组合仍然是90万美元,因为在这种情况下期权是没有用的,投资者的空仓是没有价值的。

因为投资组合是无风险的,所以会产生无风险收益率。为了在* *期初构建一个投资组合,投资者必须投资100万美元的股票,从卖出14556股的收益中扣除期权。如果投资者以12.49美元的价格做这个投资组合,在* *期间将产生10%的收益率。

因此,两年期期权的均衡价格为12.49美元。请注意,这个期权和一年看涨期权定价的唯一区别是期限不同。一年期期权基于相同的股票和相同的行权价格,但一年期期权的价格仅为6.06美元。就像股票收益概率分布的方差一样,在其他因素不变的情况下,当一个投资者延长了期权的期限时,他将增加期权的市值,因为投资者增加了股价变动的潜在上限。实际上,股价变动的潜在下限也增加了,但这并不重要,因为如果股价是108美元、81美元甚至零,期权是没有意义的。期权一旦失去了意义,就没有任何意义了。

如果扩大到三年或更长时间,投资者会发现期权会升值,然而,对于每一次连续的增长,它都小于前一次的增长。而且,如果到期日临近期末,那么期权的价值将接近普通股本身的价值——100美元。

一只执行价为100美元的股票跨季看涨期权定价如表6-2所示。对于一年牛市期权,投资者可以将股票收益变化的观察期缩短为一个季度,在每个季度中,股价可能出现17.5%和-15%的变化。对于期权定价,我们不需要详细说明每次变化的概率,而是假设概率相等。我们在表中可以看到,它的季度收益必然有这样一个概率分布,普通股票有五种可能的年终值。

最终这个树状分布有16个分支,每个分支的概率都是一样的。只有一个分支的股价是190.61美元,那么得到这个价格的概率是1/16,有4个分支的股价是137.89美元,那么得到这个价格的概率是1/4。请注意,年终股价的概率分布应该与季度收益率的概率分布不同。季度收益的概率分布是对称的,而股票期末价格的概率分布倾向于正值。执行价为100美元的股票看涨期权年末的价格也如表6-2所示。价格期权的计算方法与上述方法相同。从因果分析树的末端开始,计算期权到期时期权的价格,并往回算。

在每种情况下,投资者通过计算期权的价格来计算无风险投资组合产生的无风险收益率。在本例中,假设每季度为1.25%。

为了保持逐季抵消保值的状态,必须不断调整股票与股票看涨的相对关系期权。* *季度初,该股票的价差为32.50美元,期权的价差为20.04美元。因此,投资者每买入一只股票就必须卖出1.622股期权。

如果股价上涨,在第二季度,股票价差为38.18美元,期权价差为31.34美元。所以,这个时候,每个买家必须卖出1.218股期权。随着时间的推移,需要不断调整股票与期权的相对关系来维持套期保值。这样,情况就非常接近布莱克斯科尔斯的假设期权定价模型。

在这个例子中,假设股票收益的概率分布是二项式的,在任何时候都是常数。假设为了抵消价值,每个季度末都要调整资产头寸。为了在套期保值中获得无风险收益率,必须估算价格期权。

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