期货介绍-金融期权价格期权定价公式(二)

(3)证券价格的变化过程

证券价格的变化过程可以用普通的布朗运动来描述：

其中，s表示证券价格表示单位时间内连续复利计算的预期收益率， 2表示单位时间内证券收益率的方差，表示单位时间内证券收益率的标准差或简称为证券价格的标准差或简称为证券价格的波动率遵循标准布朗运动。

从(11.1)和(11.5)可以看出，在短时间后，证券价格比的变化值S/S为：

可以看出，S/S也具有正态分布的特征，均值为t，标准差为t，方差为 2 t。即

(11.5)中描述的随机过程也称为几何布朗运动，其中和的大小取决于时间度量的单位。在本书中，除非另有说明，时间通常以年为单位。

将证明衍生证券的定价与标的资产的预期收益率()无关，而证券价格的波动率()对衍生证券的定价非常重要。通过观察历史数据，可以确定证券价格的概率分布，计算证券价格的波动率。在公式中，我们将视为常数。事实上，会随着时间而变化。因此，在使用历史数据估计值时，应尽量使用新一段时间的数据，并注意这只是一个近似值。

例6，一只不分红的股票，遵循几何布朗运动，波动率为每年18%，预期收益率为20%(年连续复利)，当前市价为100元。求一周后股价变化值的概率分布。

根据问题的含义=0.20，=0.18，S=100，股价变化如下：

上式表示一周后股价的增加值是正态分布的随机抽样值，平均值为0.384元，标准差为2.49元。

(四)依赖过程和依赖引理

普通布朗运动假设漂移率和方差率是常数。如果将变量r的漂移率和方差率看作变量r和时间f的函数，我们可以从公式(11.4)得到依赖过程：

dx=a(x，t)dt b(x，t)dz(11.7)

其中dz是标准布朗运动，a和b是变量x和z的函数，变量x的漂移率是a，方差率是b 2。

如果变量x遵循相关过程，则变量x和t的函数g将遵循以下过程：

(11.8)就是著名的依赖引理

从(11.5)式中，我们可以得到：

dS=Sdt Sdz(11.9)

衍生证券的价格是基础证券价格s和时间f的函数。根据支持引理，衍生证券的价格g遵循以下过程：

比较(11.9)和(1L10)，衍生证券价格G和基础证券价格S都受到相同不确定性来源的影响。这对推导衍生证券的定价公式非常重要。

(五)证券价格的自然对数变化过程

顺序，G=lnS，

由于：

上式表明，证券价格的对数g也服从普通布朗运动，漂移率为常数(- 2/2)，方差率为常数 2。因此，当前时间t和某个未来时间t之间的对数

g的变化服从正态分布，均值为(- 2/2) (t-t)，方差为 2 (t-t)。

设时间t g的值为lnst，时间t g的值为InSt。规则

还有就是说证券价格的对数变化是正态分布。

如果变量的自然对数服从正态分布，则变量服从对数正态分布。

根据正态分布的特征，我们可以从(11.11)得到：

这说明lnST服从对数正态分布，所以ST也服从对数正态分布。lnSr的标准差与(T-t)成正比，说明证券价格对数的不确定性(用标准差表示)与未来时间长度的平方根成正比。

例7:假设一只股票现在的价格是50元，预期收益率是18%，波动率是每年20%。股价遵循几何布朗运动，股票6个月内不分红。

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